.RU

Волны. Уравнение плоской гармонической волны дИфференциальное волновое уравнение упругие волны. Шкала упругих волн Волновым процессом называют процесс распрос



ЛЕКЦИЯ N9


Лекция 9.
Волны. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ. дИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. упругие волны. Шкала упругих волн


Волновым процессом называют процесс распространения в пространстве возмущения какой-либо физической величины. Например, брошенный в воду камень приводит к вертикальному смещению частиц воды вблизи ее поверхности. Возмущенные частицы, благодаря поверхностному натяжению, воздействуют на соседние невозмущенные, и те также начинают колебаться и т.д. Аналогичный волновой процесс может происходит в среде (например, в стальной балке), обладающей упругой деформацией, и потому такие волны называют упругими, а также акустическими или звуковыми. Волны могут распространяться и в пустом пространстве (вакууме). Как мы видели в ч. 1, изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое, и наоборот. Такая электромагнитная волна распространяется и в пустоте, и в среде.

Если колебания возмущенной величины происходят перпендикулярно направлению распространения волны, то волна называется поперечной, а если параллельно, то продольной. Так, поплавок на воде колеблется вверх-вниз, а волна распространяется в горизонтальном направлении и потому является поперечной. То же получится, если в поперечном направлении ударить по металлическому стержню молотком или же ущипнуть струну музыкального инструмента. Если тот же стержень ударить молотком в торец, то получится продольная волна. В жидкостях и газах могут распространяться только продольные упругие волны, поскольку такие среды не обладают деформацией изгиба, ответственной за формирование поперечных упругих волн1.

Рассмотрим более подробно процесс формирования гармонической волны, то есть волны, в которой колебания происходят по гамоническому закону. Пусть какая-либо точка 1 водной поверхности (рис. 9.1) колеблется по закону (t) = A sin t . Ось  направлена вертикально вверх и характеризует смещение частиц от положения равновесия. Проведем мысленно от этой точки вдоль поверхности луч Х в произвольном направлении. Точки 1-5, а также ненумерованные промежуточные точки можно представить поплавками, которые начнут совершать колебательное движение вверх-вниз, как только придет возмущение от движения соседних частиц. При t = 0 имеем невозмущенную водную поверхность (рис. 9.1, а), но точка 1, которая должна колебаться по закону синуса, вот-вот начнет движение вверх. За четверть периода точка 1 дойдет до своего верхнего амплитудного положения. При своем движении она будет "тянуть за собой" соседнюю точку, та - свою соседнюю и т.д. вплоть до точки 2, которая к моменту t = ¼T (см. рис. 9.1, б) вот-вот начнет движение вверх2. Еще через четверть периода точка 1 вернется в положение равновесия и далее будет стремиться вниз, а точка 2 окажется в самом верхнем положении. По дороге вверх она потянет за собой соседние точки. К моменту t = ½T возмущение дойдет до точки 3. Прослеживая далее этот процесс, видим, что к концу полного периода колебаний точки 1 возмущение дойдет до точки 5. При этом сформируется полная волна. Через следующий период сформируется точно такая же волна. Следовательно, мы имеем дело с пространственной периодичностью. Расстояние, которое волна проходит в пространстве за время, равное одному периоду колебаний, называется длиной волны (). Скорость распространения волновой картины называется фазовой скоростью (V ). Поэтому

где . (9.1)

Введенное здесь волновое число k, как и длина волны , характеризует пространственную периодичность волнового процесса (равно как  и Т характеризуют временнýю периодичность:  = 2/T). Нетрудно определить из рис. 9.1, д (см. стрелки, направленные кверху), что длина волны - это минимальное расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Можно также взять расстояние между соседними горбами или же соседними впадинами. Весь рис. 9.1 в целом представляет волновой профиль и является как бы мгновенной фотографией разреза водной поверхности.

Геометрическое место (ГМ) точек, до которых доходит волновое возмущение к данному моменту времени, называется фронтом волны, а ГМ точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью. Брошенный в воду маленький камень порождает расходящиеся круги, последний из которых - волновой фронт, а любой из внутренних - волновая поверхность. Сферическая бомба, взорвавшаяся в океанской глуби, вызовет сферическую волну, а цилиндрическая - цилиндрическую. В математическом отношении наиболее простой является плоская волна, которая получится, если по торцу металлического стержня стукнуть молотком с плоским бойком. Нечто похожее можно представить, наблюдая за колосьями пшеницы в открытом поле, прогибающимися под действием сильного дуновения ветра.

Получим уравнение плоской волны. Для этого снова вернемся к рис. 9.1. Как мы уже предположили, точка ^ 1, координата которой х = 0, колеблется по закону (0, t) = A sin t. Попробуем теперь написать аналогичное уравнение (x, t) для любой точки с координатой х. Возмущение до точки дойдет с запаздыванием на время распространения волны, равное  = x/V, а искомое уравнение запишется как
(x, t) = A sin (t - ). В самом деле, если сюда подставить t = , то получим (x, ) = 0, т.е. нулевое начальное состояние (0, 0) за время
t =  переместилось в виде волны в точку х.

Поэтому (x, t )= A sin (t - ). В общем случае можно учесть и возможную начальную фазу :

или . (9.2)

Это и есть скалярное уравнение плоской гармонической волны. Оно как бы двумерно и, в отличие от уравнения A cos(t +) для одного осциллятора (например, пружинного маятника), представляет собой уравнение колебаний для большого числа пружинных маятников (точки на рис. 9.1), каждый из которых колеблется с некоторым новым фазовым сдвигом по отношению к предыдущему.

Общая картина совокупного колебания всех этих точек будет выглядеть для стороннего наблюдателя как реальная бегущая волна.

В разные моменты времени одно и то же значение смещения  будет иметь место в разных точках волнового поля. Если наблюдатель перемещается вместе с волной таким образом, что видит вокруг себя неподвижную картину (например, "сидя" на гребне волны), то в уравнении (9.2) должна оставаться неизменной фаза, то есть . Поэтому



есть фазовая скорость - скорость распространения волновой картины (и вовсе необязательно она совпадает со скоростью распространения энергии в этой волне: об этом подробнее позже). Если в (9.2) в круглых скобках минус заменить на плюс, то получим волну распространяющуюся в противоположном направлении. Если волна распространяется не вдоль х, а в произвольном направлении, образующем с осями x, y, z углы , , , то на произвольном расстоянии s от источника О (рис. 9.2) в соответствии с (9.2) получим .

Выразим это соотношение через радиус-вектор смещающейся точки. Для этого рассмотрим одну из волновых поверхностей - плоскость, перпендикулярную направлению распространения и единичную нормаль к этой поверхности. По определению скалярного произведения имеем . Волновое число k будем рассматривать как вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, т.е. с направлением нормали к волновой поверхности: , и . Поэтому обобщенным векторным аналогом уравнения плоской волны (9.2) является уравнение

. (9.2а)

Снова вернемся к одномерной задаче, когда плоская гармоническая волна распространяется вдоль направления х. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что (9.2) удовлетворяет дифференциальному уравнению Даламбера:

. (9.3)

Более того, уравнению удовлетворяет любая функция f(t  kx+) и суперпозиция (x, t) = A f1(t - kx+) + B f2(t + kx+), представляющая собой две волны, бегущие вдоль х во встречных направлениях. Эта суперпозиция и является общим решением (9.3). Убедимся в этом, дифференцируя (x, t) и подставляя в (9.3) производные:





Отсюда что и требовалось, т.к. k = /V.

Если задача трехмерна, то в декартовой системе координат в левой части (9.3) будет сумма частных производных , которая для краткости обозначается оператором Лапласа , который имеет свое представление и в других системах координат. Поэтому самая общая форма записи уравнения Даламбера выглядит так:

. (9.3а)

Рассмотрим процесс распространения плоской гармонической продольной упругой волны в стержне, возбуждаемой, например, ударом молотка в левый торец стержня (рис. 9.3). На рис. 9.3 штриховкой выделен некоторый слой в сечении х, подверженный воздействию силы, приводящей к возникновению упругой деформации. На том же рисунке изображена некоторая функция у(х). Напомним, что производная этой функции равна по определению , откуда

y(xo + x)  y(xo) + y'  x. (9.4)

Примем это к сведению и введем некоторые новые определения.
Относительной деформацией в сечении х называется безразмерная величина ; а механическим напряжением называется величина - отношение силы к площади, на которую сила действует. Известный закон Гука для деформации вдоль х через напряжение запишется так:

. (9.5)

В (9.5) константа ^ Е, называемая модулем Юнга, является характеристикой упругих свойств вещества наподобие коэффициента жесткости k. Механическое напряжение есть не что иное, как сила, действующая на единицу площади. Сила, действующая на весь выделенный штриховкой цилиндр cечением S, равна F = S, где  - разность напряжений в крайнем правом и крайнем левом концах сдвинутого слоя (см. пунктир на рис. 9.3). Поэтому

F = S = . (9.6)

Используя (9.4), получим

и

. Подставим полученные результаты в (9.6). Поскольку , получим3



. Сравнивая это соотношение со вторым законом Ньютона и записывая массу m выделенного слоя через плотность  и объем Sx, получим .

Последняя формула совпадает с уравнением Даламбера (9.3), в котором V - фазовая скорость распространения продольных упругих волн. Для поперечных волн, когда за процесс распространения отвечает не сжатие-растяжение, а изгиб, получится сходная формула с модулем сдвига G, который так же, как и модуль Юнга Е, является универсальной константой, зависящей от свойств среды: V = V . В газах скорость звука (там всегда распространяются только продольные упругие волны!) определяется формулой

V = , (9.7)

где  - константа, зависящая от свойств газа; р - среднее давление. Скорость звука в воздухе при комнатной температуре около 340 м/с, в жидкостях - около 1500 м/с, в твердых телах - от 3000 до 5500 м/с.

Рассмотрим теперь процесс переноса энергии упругой волной. Пусть в некоторой среде распространяется вдоль оси х плоская продольная волна (x, t) = A cos(t - kx). Выделим в среде малый объем . Кинетическая энергия частиц объема, колеблющихся под воздействием волны, равна .

Потенциальная энергия упругой деформации4 этого же объема через модуль Юнга и относительную деформацию запишется в виде . Учитывая, что , получим .

Полная энергия

, а ее объемная плотность

= .

При cкорости распространения волны ^ V расстояние, проходимое волной за время t, равно Vt, а объем, в котором распространяется волна, равен SVt. Тогда E = wSVt, а энергия, доставляемая волной в единицу времени через единичную площадку (плотность потока энергии), равна .

Этой формуле часто придают векторный смысл: соответствующий вектор называется вектором Умова. Он направлен вдоль направления скорости. Найдем среднее значение величины , поскольку именно оно характеризует интенсивность звуковой волны. Поскольку sin2(...) меняется от 0 до 1, то среднее значение
равно ½. Получим . Тогда, по определению, интенсивность звуковой волны равна . Наиболее распространенной величиной, характеризующей воздействие звука на организм человека, является уровень интенсивности звука, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый как

, (9.8)

где jo = 10-12 Вт/м2 - опорный уровень, принятый за порог слышимости. (Если j = jo , то L = 0). В табл. 1 приводятся некоторые значения L (при частоте  = 1000 Гц).

Таблица 1 (Уровни интенсивности звука)

Источник звука

Уровень интенсивности L, дБ

Тиканье часов, шопот

20

Офис

40-50

Речь докладчика

60

Автомобильный мотор

70

Цех предприятия, автострада, поезд

80...100

Дискотека, большой оркестр

100...110

Авиационный мотор

>120

Предел болевого ощущения

130


Если расположить упругие волны в порядке возрастания частоты, то получится шкала упругих волн (рис. 9.4).

Из рисунка видно, что слышимый звук образует весьма узкий диапазон от 20 Гц до 20 кГц. Отметим, что этот интервал слышит весьма хорошее ухо. Для подавляющего большинства этот интервал еще ýже (40 Гц < 18 кГц). За слышимым звуком располагается ультразвук, нижняя граница которого еще находится в пределах слышимости для некоторых животных (например, для летучих мышей). Верхняя граница точно не определена.

У
льтразвук широко применяется в инженерном деле. Так, ультразвук применяется для очистки внутренних поверхностей блока цилиндров мотора от загрязнений, когда нельзя пользоваться абразивными методами. Резонансное воздействие ультразвука на поверхность приводит к "стряхиванию" загрязнений с поверхности.

Получают ультразвук благодаря пьезоэффекту, открытому в
1870 г. Пьером Кюри. Сущность эффекта заключается в том, что вследствие внешней деформации в некоторых кристаллах происходит перестройка структуры, приводящая к возникновению на кристалле электрического напряжения. Эффект обратим, и если к пьезокристаллу прикладывать от генератора электрический переменный гармонический сигнал ультразвуковой частоты, то поверхность кристалла будет совершать механические колебания с той же частотой. Если кристалл привести в тесный контакт с какой-либо средой, то в этой среде будет распространяться ультразвуковая волна.

Инфразвук, расположенный в диапазоне от 0 до 20 Гц, генерировать весьма сложно. Известно, что существуют частоты, действие которых оказывает сильное психологическое и физиологическое воздействие на организм человека, включая нарушение ритма работы сердца и даже его остановку. Так, самые длинные низкочастотные органные трубы генерируют неслышимый человеком звук, оказывающий, тем не менее, исключительно сильное эмоциональное воздействие. Этим и объясняется сильный экстаз, испытываемый верующими в соборе во время службы, сопровождаемой органной музыкой.

Одной из наиболее серьезных гипотез, объясняющих чувство страха, которое овладевает пассажирами судов, идущими через Бермудский треугольник, является "голос моря" - сильное резонансное воздействие на фиксированной инфранизкой частоте, вызванное колебаниями большой массы воды. По-видимому, граничные условия (глубина и рельеф дна, очертания береговой линии и т.п.) приводят к генерированию мощных упругих волн на частоте, ответственной за данный тип эмоций. Инфразвук является самым малоизученным диапазоном шкалы.



1 Волны на поверхности воды являются поперечными, однако здесь имеется граница раздела сред и потому ситуация совершенно иная.

2 В дальнейшем будем рассматривать только незатухающие волновые процессы, поэтому индекс "0", принятый ранее для частоты и периода незатухающих колебаний, мы использовать не будем.

3 Член, которым пренебрегаем, зачеркнут крестом; члены, которые взаимно уничтожаются, перечеркнуты одной косой линией.

4 Ср. с аналогичной формулой Eп = kx2/2.




utverzhdeno-na-sovete-mou-sosh-124-protokol-ot-predsedatel-soveta-mou-sosh-124-podpis-rasshifrovka.html
utverzhdeno-na-zasedanii-kafedri-protokol-3-ot-24-sentyabrya-2014g-informacionnaya-spravka.html
utverzhdeno-na-zasedanii-kafedri-teoriya-i-metodika-futbola-ot-03-sentyabrya-2013-g-informacionnaya-spravka.html
utverzhdeno-na.html
utverzhdeno-obshim-sobraniem-chelyabinskogo-regionalnogo-otdeleniya-ooo.html
utverzhdeno-polozhenie-o-vipuskayushih-kafedrah-bgu-64-polozhenie.html
  • urok.bystrickaya.ru/pozolochennaya-stal-koncentrat.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/viktor-fedorovich-shatalov-eksperiment-prodolzhaetsya-stranica-13.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nacionalnij-standart-rossijskoj-federacii-sistemi-menedzhmenta-kachestva-rukovodyashie-ukazaniya-po-primeneniyu-gost-r-iso-9001-2001-v-sfere-obrazovaniya-stranica-3.html
  • credit.bystrickaya.ru/plan-za-dejstvie-stranica-20.html
  • urok.bystrickaya.ru/prikaz-05-marta-2011-g-33-g-nizhnij-novgorod-oprieme-v-aspiranturu-v-2011-g-1.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/analiz-i-diagnostika-finansovogo-sostoyaniya-predpriyatiya.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/tamozhennij-kontrol-tovarov-i-transportnih-sredstv-pri-osushestvlenii-mezhdunarodnih-perevozok.html
  • essay.bystrickaya.ru/dostoprimechatelnosti-istoriya.html
  • institut.bystrickaya.ru/uchebnij-plan-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-srednego-professionalnogo-obrazovaniya-gosudarstvennogo-avtonomnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-srednego-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • write.bystrickaya.ru/g-h-andersen-yolka-volshebnij-fonar-rusalochka-dikie-lebedi-snezhnaya.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vjskov-mosti-rimlyan-na-ukran.html
  • universitet.bystrickaya.ru/uchastnik-razmesheniya-zakaza-upolnomochennij-predstavitel-kurgangazkom.html
  • notebook.bystrickaya.ru/informacionnoe-pismo-gripp-a-h-1-n-1-i-vizvannaya-im-pnevmoniya-u-beremennih-etiotropnaya-i-respiratornaya-terapiya-informacionnoe-pismo-podgotovleno-avtorami.html
  • college.bystrickaya.ru/2008-evropejskoe-prostranstvo-svobodi-bezopasnosti-i-pravosudiya.html
  • shkola.bystrickaya.ru/o-korporativnoj-kulture.html
  • books.bystrickaya.ru/disciplini-napravleniya.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-po-discipline-v-kontrakti-i-vneshnetorgovaya-dokumentaciya.html
  • tetrad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-po-specialnostyam-050301-032900-russkij-yazik-i-literatura.html
  • testyi.bystrickaya.ru/86-metodi-obucheniya-vne-rabochego-mesta-telefonnie-rekomendacii-31-3-statisticheskie-rekomendacii-31-ispitatelnij.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/nakonec-to-prishla-dolgozhdannaya-telegramma-ot-papi-i-mi-s-mamoj-vileteli-v-ust-neru-iz-ege-haya-gde-moj-otec-vasyunin-nikolaj-dmitrievich-rabotal-nachalnikom-ya.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tvdenisova-lechenie-artrozov-sbornik-statej-vipusk-6-taganrog.html
  • bukva.bystrickaya.ru/mgnovenie-glavnie-geroi-huan-mariya-hoze-miguel-diac-kratkoe.html
  • grade.bystrickaya.ru/obrazovatelnie-celi-uroka-moim-pervim-uchitelyam-shirkovec-zinaide-dmitrievne-geografiya-i-kulikovoj-aleksandre.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/lekciya-2-svojstva-skalyarnih-i-vektornih-polej-lekciya-1-vvedenie-elementi-differencialnoj-geometrii-2.html
  • lesson.bystrickaya.ru/soloveckie-ostrova.html
  • literatura.bystrickaya.ru/regionalnaya-ekonomika-i-upravlenie.html
  • textbook.bystrickaya.ru/klassnij-chas-bez-truda-ne-prozhivesh.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/63-pomesheniya-obshestvennogo-naznacheniya-gosudarstvennie-stroitelnie-normi-ukraini-zdaniya-i-sooruzheniya-gostinici.html
  • tasks.bystrickaya.ru/34-osnovnie-narusheniya-i-rekomendacii-po-sovershenstvovaniyu-raschetov-po-oplate-truda.html
  • bukva.bystrickaya.ru/stanovleniya-goroda-almati.html
  • books.bystrickaya.ru/biznes-plan-innovacionnogo-proekta-proizvodstvo-kirpicha.html
  • assessments.bystrickaya.ru/e-v-pahomov-nauchnij-e-v-teleeva-shadrinskij-gosudarstvennij-pedagogicheskij-institut-g-shadrinsk.html
  • universitet.bystrickaya.ru/uchebnaya-oznakomitelnaya-praktika-290300-270102-65-promishlennoe-i-grazhdanskoe-stroitelstvo.html
  • uchit.bystrickaya.ru/standartizaciya-metrologiya-i-sertifikaciya-stranica-8.html
  • report.bystrickaya.ru/gustav-majrink-stranica-8.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.